traballo - Wikilingue - Encydia
Nota: Este artigo é sobre traballo en súa acepção física. Para outros significados, vexa | Mecánica Clásica | ||||||||||||||||
| Arquivo:Principia Mathematica title.gif | ||||||||||||||||
Movemento · Enerxía · Forza
|
||||||||||||||||
En física , traballo (normalmente representado por W , do inglés work, ou pola letra grega tau) é unha medida da enerxía trasladada pola aplicación dunha forza ao longo dun desprazamento.
O traballo dunha forza F aplicada ao longo dun camiño C pode ser calculada de forma xeral a través da seguinte integral de liña:
- Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): \operatorname{W} _{c} = \int_{c} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
- onde:
- F é o vector forza.
- r é o vector posición ou desprazamento.
O traballo é un número real, que pode ser positivo ou negativo. Cando a forza actúa no sentido do desprazamento, o traballo é positivo, isto é, existe enerxía sendo engadida ao corpo ou sistema. O contrario tamén é certo, unha forza no sentido oposto ao desprazamento retira enerxía do corpo ou sistema. Cal tipo de enerxía, se enerxía cinética ou enerxía potencial, depende do sistema en consideración.
Como mostra a ecuación enriba, a existencia dunha forza non é sinônimo de realización de traballo. Para que tal aconteza, é necesario que haxa desprazamento do punto de aplicación da forza e que haxa unha compoñente non nula da forza na dirección do desprazamento. É por esta razón que aparece un produto interno entre F e r. Por exemplo, un corpo en movemento circular uniforme (velocidade angular constante) está suxeito a unha forza centrípeta. No entanto, esta forza non realiza traballo, visto que é perpendicular á traxectoria.
Por tanto hai dúas condicións para que unha forza realice traballo:
a) Que haxa desprazamento; b) Que haxa forza ou compoñente da forza na dirección do desprazamento.
Esta definición é válida para calquera tipo de forza independentemente da súa orixe. Así, pode tratarse dunha forza de atrito, gravítica (gravitacional), eléctrica, magnética, etc.
Táboa de contido |
Tipos de Traballo
>Traballo nulo, cando traballo é igual a cero; >Traballo Motor, cando a forza e o desprazamento están no mesmo sentido; >Traballo resistente, cando a forza e desprazamento posúen sentidos contrarios (Xeralmente é representado así: T= -F.d).
Traballo e enerxía
Se unha forza F é aplicada nun corpo que realiza un desprazamento dr, o traballo realizado pola forza é unha grandeza escalar de valor:
-
- Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): \operatorname{W} = {\mathbf{F}} \cdot d{\mathbf{r}}
Se a masa do corpo for suposta constante, e obtivermos dWtotal como o traballo total realizado sobre o corpo (obtido pola suma do traballo realizado por cada unha das forzas que actúa sobre o mesmo), entón, aplicando a segunda lei de Newton pódese demostrar que:
-
- Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): d \operatorname{W} _{total} = d\operatorname{ E_{c}}
onde Ec é a enerxía cinética. Para un punto material, E c é definida como:
-
- Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): \operatorname{E_{c}} = \frac{\operatorname{m} \operatorname{v^{2}}}{2}
Para obxectos extensos compostos por diversos puntos, a enerxía cinética é a suma das enerxías cinéticas das partículas que constitúen un tipo especial de forzas, coñecidas como forzas conservativas, pode ser expresado como o gradiente dunha función escalar, a enerxía potencial, V:
-
- Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): {\mathbf{F}} = - grad{\operatorname{(V)}}
Se supuxermos que todas as forzas que actúan sobre un corpo son conservativas, e V é a enerxía potencial do sistema (obtida pola suma das enerxías potenciais de cada punto, debidas a cada forza), entón:
-
- Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): {\mathbf{F}} \cdot d{\mathbf{r}}= - grad{\operatorname{(V)}} \cdot d{\mathbf{r}}= - d \operatorname{V}
logo,
-
- Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): - d \operatorname{V} = d{\operatorname{E_{c}}} \Rightarrow d{( \operatorname{E_{c} + V} )} = 0
Este resultado é coñecido como a lei de conservación da enerxía, indicando que a enerxía total Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): \operatorname{E_{t}} = \operatorname{E_{c} + V}
é constante (non é función do tempo).
Concepto
Os principios do concepto de traballo remontan ás ecuacións de Galileu do movemento retilínio uniformemente variado (MRUV). Temos que o desprazamento Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): \Delta s
(positivo para unha dirección da recta e negativo para a outra) equivale a
Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): \Delta s = \frac {v^2 - v_0^2}{2a}
O que nos dá unha relación entre o desprazamento e a mudanza de velocidade (Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): v
é a velocidade correspondente ao final do desprazamento e Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): v_0 é a velocidade correspondente ao seu inicio).
Esa ecuación é o primeiro paso para un tratamento da mecánica que sexa independente do tempo envolvido. Mais aínda hai nela un factor que remite ao tempo: a aceleración. De forma qualitativa, esa ecuación nos di que, cando maior foi o módulo da aceleración que levou o corpo da velocidade Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): v_0
á velocidade Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): v
, menor é o espazo percorrido durante esa transformación. De modo simple: se a mudanza de velocidades demorou máis, entón sobrou máis tempo para que o corpo se movese mentres tanto. Para eliminar ese factor que é tan dependente da maneira como se deu a mudanza de velocidades (o que é contraditorio cun tratamento atemporal), debemos multiplicar ambos os lados da ecuación por Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): a
e pasar a pensar en Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): a\Delta s como unha entidade única, relacionada só coa variación absoluta do cadrado da velocidade dividido por dous:
Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): a \Delta s = \frac {v^2}{2} - \frac {v_0^2}{2}
Independentemente de como foi realizada a transformación, o Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): \frac {v^2}{2} - \frac {v_0^2}{2}
será sempre igual á entidade Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): a \Delta s
, de modo que finalmente temos un tratamento atemporal no movemento uniformemente variado.
Non obstante, queremos estender iso ao movemento xeral. Para iso, primeiro temos que estabelecer unha relación entre o movemento retilínio e o movemento curvo, a fin de estender nosos conceptos dun para o outro. Para facer iso, lembramos as relacións entre os vetores velocidade, posición e aceleración: a aceleración é a derivada temporal da velocidade e a velocidade é a derivada temporal da posición. Agora pensemos en calquera "desprazamento infinitesimal" Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): d \vec r . Temos que:
Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): d\vec r = \frac {d \vec r}{dt} . dt = \vec v dt
Ou sexa, calquera desprazamento infinitesimal se dá na dirección da velocidade instantânea (desde que a posición sexa descrita por unha función vectorial continua). Como a dirección da velocidade instantânea é unha soa, entón cada desprazamento infinitesimal é retilínio.
Agora, debemos descubrir o canto a nosa entidade Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): \frac {v^2}{2} - \frac {v_0^2}{2}
muda nese intervalo infinitesimal de tempo en que os desprazamentos son retilínios. Para iso, derivamos a entidade en relación ao tempo:
Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): \frac {d}{dt} \left[ \frac {v^2}{2} - \frac {v_0^2}{2} \right] = v\frac {dv}{dt}
Note que a derivada Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): \frac {dv}{dt}
NON corresponde ao vetor aceleración, como mostraremos pronto.
Antes diso, volvamos por un instante á nosa entidade Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): a \Delta s = \frac {v^2}{2} - \frac {v_0^2}{2}
(que só é válida para o MRUV). Claramente, se considerarmos o desprazamento como sendo sempre positivo, entón unha aceleración negativa (no sentido oposto ao do movemento) implica unha diminución da magnitude da velocidade, mentres unha aceleración positiva (no mesmo sentido do movemento) aumenta a magnitude da velocidade.
E canto a unha aceleración que non se dá na mesma dirección do desprazamento? Vexamos a seguinte relación:
Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): \vec v = v \hat v
Onde Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): v
é a magnitude da velocidade e Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): \hat v é o vetor unitario que indica a dirección da velocidade. Sendo así, para obter a aceleración derivamos a expresión Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): v \hat v
, usando a regra da cadea:
Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): \vec a = \frac {dv}{dt} \hat v + v \frac {d \hat v}{dt}
Onde vemos que un compoñente da aceleración (na mesma dirección da velocidade), muda a magnitude da velocidade (Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): \frac {dv}{dt} \hat v ), mentres o outro compoñente muda só a dirección da velocidade (Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): v \frac {d \hat v}{dt} , lembrando que a derivada dun vetor unitario é sempre na dirección perpendicular a ese vetor unitario). Ou sexa, como destacamos enriba, a derivada Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): \frac {dv}{dt}
corresponde a só un compoñente da aceleración: o compoñente que se dá na dirección da velocidade.
Ese compoñente equivale a:
Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): \frac {dv}{dt} = \frac {\vec a \cdot \vec v}{v}
Note que, cando ese produto escalar é negativo, é porque a compoñente da aceleración que está na dirección do desprazamento está no sentido oposto a el. Iso implica unha diminución da magnitude da velocidade, en concordância coa situación encontrada no MRUV.
Agora, a mudanza infinitesimal na nosa entidade Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): \frac {v^2}{2} - \frac {v_0^2}{2}
fica:
Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): \frac {d}{dt} \left[ \frac {v^2}{2} - \frac {v_0^2}{2} \right] = v\frac {dv}{dt} = \vec a \cdot \vec v
Mais queremos saber esa mudanza nun intervalo de tempo calquera. Entón integramos con relación ao tempo:
Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): \frac {v^2}{2} - \frac {v_0^2}{2} = \int \vec a \cdot \vec v dt
Finalmente pensamos a nosa entidade. No entanto, en analoxía ao que aconteceu no MRUV, o que temos aquí é unha integral dependente do tempo, o que non condiz co que estamos buscando desde o inicio: un tratamento atemporal. Así, facemos simplemente:
Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): \int \vec a \cdot \vec v dt = \int \vec a \cdot \frac {d\vec r}{dt} dt
O que constitúe unha integral de liña:
Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): \int_C \vec a \cdot d \vec r = \frac {v^2}{2} - \frac {v_0^2}{2}
Cos límites de integración, obviamente, correspondendo aos puntos inicial e final da traxectoria.
Noso *traballo* está case pronto. Só precisamos multiplicar esa entidade que encontramos pola masa. Iso ten moitas vantaxes, mais aquí daremos só unha razón conceptual: a aceleración é un concepto secundario en comparación coa importancia da forza. Trocar, na ecuación enriba, a aceleración pola forza quere dicir traer esa entidade para máis preto do mundo físico. Iso tamén se debe á conexión do traballo co concepto de enerxía , que é unha cantidade que se conserva, e que está ligada á masa.
Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): \int_C m \vec a \cdot d\vec r = \int_C \vec F \cdot d\vec r
Así, temos, finalmente, o traballo TOTAL sobre unha partícula:
Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): W = \int_C \vec F \cdot d\vec r
Onde Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): \vec F
é a forza resultante. O traballo realizado por unha outra forza calquera é análogo, trocándose a forza total pola forza calquera. Note que a compoñente do traballo dunha forza calquera que contribúe para a compoñente forza resultante na dirección do desprazamento é, xustamente, o produto escalar entre a forza calquera e a dirección do desprazamento, o que xustifica esa similaridade.
Unidades
A unidade SI de traballo é o joule (J), que se define como o traballo realizado por unha forza dun newton (N) actuando ao longo dun metro (m) na dirección do desprazamento. O traballo pode igualmente expresarse en N.m, como se depreende desta definición. Estas son as unidades máis correntes, no entanto, na medida en que o traballo é unha forma de enerxía , outras unidades son por veces empregadas.
Outras unidades
O Quilojoule, equivalente a Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): 10^3
Joules e o erg, que equivale a: 1 Joule = Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): 10^3*10^2*10^2 erg = Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): 10^7 erg.
Outras fórmulas
Para o caso simple en que o corpo se despraza en movemento retilíneo e a forza é paralela á dirección do movemento, o traballo é dado pola fórmula:
- Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): \operatorname{W} = \operatorname{Fr} \;
onde F é só a magnitude da forza e r é a distancia percorrida polo corpo. No caso de que a forza se opoña ao movemento, o traballo é negativo. De forma máis xeral, a forza e o desprazamento poden ser tomados como grandezas vectoriais e combinados a través do produtointerno :
- Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): \operatorname{W} = \mathbf{F}\cdot\mathbf{r}
Esta fórmula é válida para situacións en que a forza forma un ángulo coa dirección do movemento, desde que a magnitude da forza e dirección do desprazamento sexan constantes. A generalização desta fórmula para situacións en que a forza e a dirección varían ao longo da traxectoria (ou do tempo) pode ser feita recorrendo ao uso de diferenciais. O traballo infinitesimal dW realizado pola forza F ao longo do desprazamento infinitesimal dr é entón dato por:
- Fallou ao verificar gramática (O executável texvc non foi encontrado. Consulte math/README para instrucións da configuración.): d\operatorname{W} = \mathbf{F}\cdot d{\mathbf{r}}
A integración de ambos os lados desta ecuación ao longo da traxectoria resulta na ecuación xeral inicialmente presentada.
